Оформление документов после родов (Москва или область?)

Доброго времени суток.

В нашей семье случилось пополнение и сейчас возникли вопросы по оформлению документов, думаем как поступить.

Ребенок родился в Москве. Папа прописан в Москве, мама в области (у родителей). Проживаем в области (в съемной квартире) на границе с Москвой (можно сказать через дорогу). Наша областная детская поликлиника, в которой мы должны отметиться оставляет желать лучшего. Но через дорогу в Москве есть хорошая большая детская поликлиника.

Сейчас нужно оформить:

1. Свидетельство о рождении. Тут все просто, оформляю через госуслуги, будет указано, что родился в Москве.

2. Регистрация по месту жительства. Как тут лучше поступить? Прописать к папе в Москве, чтобы пользоваться Московской поликлиникой через дорогу? Такое возможно?

3. СНИЛС. Делается после получения свидетельства о рождении, подам заявление в МФЦ в Москве.

4. Полис ОМС, делать Московский?